Ja, het woord 'dokter' moet in deze zin een apostrof hebben.

De apostrof wordt gebruikt om aan te geven dat iets van iemand of iets anders is. In dit geval is het mondkapje eigendom van de arts. Daarom is de juiste manier om de zin te schrijven:

“We begrijpen dat het de aanbeveling van de dokter is dat Josh een beschermend gezichtsmasker draagt.”